Lectie de matematica: Definitia, proprietatile şi graficele logaritmilor

Lectie de matematica: Definitia, proprietatile şi graficele logaritmilor

Scris de Laurenţiu Tuca pe 12 Noiembrie 2009 (Joi). Ultima actualizare pe 14 Ianuarie 2010 (Joi)

Această lecţie de matematică defineşte logarimtii şi enumeră regulile de calcul pentru ei. 

Definiţia logaritmului

Fie si , doua numere reale. Se numeste logaritm al numarului real strict pozitiv  exponentul la care trebuie ridicat numarul , denumit baza, pentru a obtine numarul .

Notaţiile logaritmilor

Logaritmul numarului  in baza  se noteaza: . Cu aceasta notatie si cu definitia este clar ca .

Functia logaritm si graficul acesteia

Functia logaritm este, cu alte cuvinte, inversa functiei exponentiale. Avand functia bijectiva al carei grafic il puteti vedea in figura de mai jos:

Acesta este graficul functiei exponentiale. Observati ca pentru o baza mai mare decat 1 are aceasta figura. Observati ca limita la minus infinit este 0, iar la plus infinit este chiar infinit.

Acesta este graficul functiei exponentiale a carei baza este mai mica decat 1. Ea este o functie strict descrescatoare, spre deosebire de cealalta, care era o functie strict crescatoare.De data aceasta, la minus infinit, functia tinde sa fie infinita, cand la infinit ea tinde inspre 0.

Cum functia exponentiala este o functie bijectiva, ea este si inversabila, iar inversa sa este chiar functia logaritm: . Cum stim ca graficul functiei inverse este simetric in raport cu prima bisectoare a axelor (dreapta de ecuatie y=x) fata de functia f, putem construi, asadar, graficul functiei logaritm:

Cazuri particulare de logaritmi

Logaritmii in baza 10 se numesc logaritmi zecimali si se noteaza  sau , iar cei in baza e se numesc logaritmi naturali sau neperieni (de la numele matematicianului scotian Neper care i-a descoperit), si se noteaza .

Proprietăţile logaritmilor

01. , daca (injectivitatea functiei logaritm). 

02.

03.

04.

05.

06. Fie . Atunci

07.

08.

09.

10.

11.

12.

13. Daca functia este strict crescatoare, adica pentru , avem

14. Daca functia este strict descrescatoare, adica pentru , avem

15. Fie . Atunci

16. Fie . Atunci .

Pentru fiecare dintre proprietati unde nu sunt puse conditii pentru , se subinteleg conditiile din definitie.

Ajutor la teme la matematică pe forumul Stiinta Azi

Aceasta este o formulă de algebră, foarte folosită la gimnaziu şi liceu. Stiinta Azi vă oferă pe acest site cele mai utile formule de matematică, precum şi ajutor la rezolvarea temelor la matematică pe forumul nostru.

Avem şi alte formule şi lecţii de matematică. Articolul acesta a fost scris de Laurenţiu Tuca şi apoi aranjat în pagină de Adrian Buzatu.

• A fost decernat premiul Abel pentru matematică, echivalentul premiului Nobel
• Actualizare cu modele de bac 2010 - Bacalaureat 2010 - noua structură, metodologia şi calendarul
• Arhimede, un mare învăţat al lumii antice
• BANCURI: Matematicienii şi chelneriţa
• Cel mai bun matematician al anului 2009 e românul Daniel Breaz