Referat matematică: Trigonometrie - graficele funcţiilor trigonometrice

Referat matematică: Trigonometrie - graficele funcţiilor trigonometrice

Scris de Mihai Bărbulescu pe 02 Ianuarie 2010 (Sâmbătă). Ultima actualizare pe 03 Ianuarie 2010 (Duminică)

Eşti la şcoală şi vrei să ai pe internet, în limba română, un referat de matematică cu o serie de tabele cu cele mai utile formule de matematică şi fizica? Echipa de voluntari Stiinta Azi îţi aduce aceasta. Continuăm lecţiile de trigonometrie cu prezentarea graficelor funcţiilor sinus, cosinus, tangentă, cotangentă.

 În articolul precedent al Stiinta Azi am făcut o introducere a funcţiilor trigonometrice. Să vedem acum reprezentarea lor grafică şi explicaţiile de rigoare. 

Sinus este o funcţie periodică, cu perioada principală - verificati voi ca , aşadar este suficient să reprezentăm graficul pe intervalul , deoarece el se va repeta pe restul intervalelor.

Este o funcţie impară, adică , ceea ce înseamnă că graficul funcţiei este simetric în raport cu originea axelor (O) – un prim indiciu despre cum ar arăta graficul.

Ştim, de asemenea, că funcţiile trigonometrice sinus şi cosinus nu pot lua valori decât între -1 şi 1, aşadar, avem că imaginea funcţiei este – aşadar graficul funcţiei este mărginit între dreptele de ecuaţie y = -1 şi y = 1

Observaţie: Dacă dăm mai multe valori funcţiei (urmăriţi tabelul de valori de mai jos), vom observa că funcţia creşte pe intervalul , descreşte pe intervalul şi creşte din nou pe intervalul .

Studiind acelasi tabel de valori, gasim valorea maxima si cea minima: 1 pentru si -1 pentru . Functia se anuleaza in . k este un numar intreg.

Având la dispoziţie toate aceste informaţii, putem trasa graficul, care va arăta cam aşa:

 Proprietăţile şi graficul funcţiei cosinus

Cosinus este o funcţie periodică, cu perioada principală - verificati voi ca , aşadar si aici este suficient să reprezentăm graficul pe intervalul , deoarece el se va repeta pe restul intervalelor.

Este o funcţie pară, adică , ceea ce înseamnă că graficul funcţiei este simetric în raport cu axa ordonatelor Oy - adică îndoind foaia în două după axa Oy ar trebui ca partea din stânga a graficului să se suprapună pe partea din dreapta a graficu.l

Cum am spus mai sus în acest referat de matematică, imaginea funcţiei este – aşadar graficul funcţiei este mărginit între dreptele de ecuaţie y = -1 şi y = 1. 

Observaţie: Dacă dăm mai multe valori funcţiei (urmăriţi tabelul de valori de mai jos), vom observa că funcţia descreşte pe intervalul , creşte pe intervalul .

Pe acelasi tabel de valori din referat, gasim valorea maxima si cea minima: 1 pentru si -1 pentru . Functia se anuleaza in cu k numar intreg.

Şi acum hai să vedem care e diferenţa dintre graficele funcţiilor sin şi cos, căci ambele sunt sinusoide - Există un decalaj de între ele:

 Proprietăţile şi graficul funcţiei tangentă 

Dacă funcţiile sinus şi cosinus aveau ca domeniu de definiţie mulţimea numerelor reale, la funcţia tangentă domeniul nu mai este întreaga mulţime, deoarece şi atunci trebuie să fie diferit de 0, adică . Dreptele de ecuaţie constituie asimptotele verticale ale graficului funcţiei noastre, deoarece, spre exemplu în avem:

Imaginea funcţiei este, de data asta, întreaga mulţime a numerelor reale, deci funcţia nu mai este mărginită, din moment ce există puncte în care ea tinde la infinit.

Tangenta este şi ea o funcţie periodică, de data asta cu perioada principală , deoarece pentru orice x din domeniul de definiţie.

Din definiţia tangentei se poate deduce că aceasta este o funcţie impară, deoarece este raportul dintre o funcţie impară şi una pară, aşadar avem şi, în consecinţă, graficul va fi simetric în raport cu originea axelor.

Conform valorilor din tabelul de mai jos din referatul de matematică, pe o perioadă (spre exemplu, pe intervalul )funcţia tangentă este strict crescătoare.Pentru , unde k e numar intreg, deoarece in acele puncte se anuleaza functia sinus. 

 Proprietăţile şi graficul funcţiei cotangentă  

Nici cotangenta nu are ca domeniu de definiţie întreaga mulţime a numerelor reale, căci , aşadar trebuie să excludem valorile lui x pentru care funcţia sinus se anulează. În consecinţă, domeniul de definiţie va fi .

Tot din definiţie deducem că aceasta este o funcţie impară, deoarece este raportul dintre o funcţie impară şi una pară, aşadar avem şi, în consecinţă, graficul va fi simetric în raport cu originea axelor.

Conform valorilor din tabelul de mai jos din acest referat de matematică, pe o perioadă (spre exemplu, pe intervalul funcţia cotangentă este strict descrescătoare. Pentru , unde k e numar intreg, deoarece in acele puncte se anulează functia cosinus.

Referat de matematică despre graficele funcţiilor trigonometrice scris de Mihai Bărbulescu pentru www.StiintaAzi.ro.

• Formule de matematică: funcţii trigonometrice - o introducere
• Lecţie de matematică: derivate ale funcţiilor uzuale
• Lecţie de matematică: tabele de integrale nedefinite şi de primitive uzuale
• Cronica-scepticului - episodul 98: Negationism
• FORMULE GEOMETRIE: Formula ariei cilindrului