LECŢII DE MATEMATICĂ: Definiţia şi construcţia mulţimii numerelor complexe

Scris de Mihai Bărbulescu pe 08 Martie 2010 (Luni). Ultima actualizare pe 08 Martie 2010 (Luni)

Atenţie, deschide într-o fereastră nouă.

Ştim că în mulţimea numerelor reale nu putem rezolva o ecuaţie de gradul II, al cărei discriminant este negativ. Numerele complexe au apărut ca o necesitate a rezolvării acestor ecuaţii şi au fost introduse începând cu secolele XVII-XVIII de matematicieni celebrii ca Euler, Moivre sau Gauss. În acest articol ne propunem să aflăm cum a fost construită mulţimea numerelor complexe.

Multimea numerelor complexe formeaza o structura de corp pe plan

LECŢII DE MATEMATICĂ: Definiţia şi construcţia mulţimii numerelor complexe, formează o structură de corp comutativ pe plan şi are numeroase aplicaţii în geometria plană

Interesant este că pentru prima oară s-a vorbit de „numere imaginare” încă din anul 1545 de către matematicianul şi medicul italian Girolamo Cardano. Cum a fost, însă, posibil, construcţia corectă a unei mulţimi noi de numere, care să aibă în componenţă numere imaginare şi nu reale?

Noi până acum am fost obişnuiţi să lucrăm pe mulţimea şi pe axa numerelor reale (deci unidimensional). Pe această mulţime lucram cu operaţiile de adunare şi de înmulţire. În matematică spunem că mulţimea numerelor reale, împreună cu cele două operaţii, formează o structură de corp, adică este corp. Ce-ar fi dacă am lua mulţimea rezultată în urma produsului cartezian ?

Pe mulţimea care o vom nota introducem operaţiile de adunare şi de înmulţire astfel: . Mă veţi întreba, dar cum de m-am gândit la aceste operaţii? Mi-am propus să determin un număr, i, care va avea proprietatea că . Întâi de toate observăm că funcţia este bijectivă. Codomeniul acestei funcţii reprezinta, din punct de vedere geometric, chiar axa Ox, iar domeniul îl constituie planul…Cu alte cuvinte, geometric, prin această funcţie transfer orice număr din plan pe axa numerelor reale. De acum încolo voi nota orice fel de pereche (x,0) cu x.

Să luăm operaţia de înmulţire definită anterior pe mulţimea noastră şi să calculăm …Aşadar, dacă vom nota (0,1) cu i vom găsi exact numărul pe care îl căutam!

Ca să fim siguri că mulţimea noastră este bună, trebuie să ne asigurăm că formează o structură de corp comutativ, adică trebuie să verificăm că este grup comutativ, este grup, să verificăm distributivitatea înmulţirii nou definite faţă de adunarea nou definită şi că toate elementele din mulţime, mai puţin (0,0) sunt inversabile (sau simetrizabile). Este un exerciţiu foarte uşor pe care l-ar putea face orice elev (de clasa a XII-a) care are cunoaşte conceptul de grup şi de element inversabil.

Să ne mai jucăm puţin cu notaţiile. Elementul (x,y) se mai poate scrie – aşadar, iată forma algebrică a unui număr complex!

Concluzii: Am construit astfel o nouă mulţime, care constituie un spaţiu peste mulţimea numerelor reale, a cărei structură de corp este bidimensională (pe plan). Iată de ce numerele complexe au numeroase aplicaţii în geometria plană, după cum vom vedea în articolele viitoare despre numere complexe. În această mulţime avem un număr imaginar , o proprietate pe care nici un număr real nu o are. Mulţimea se va nota cu , care împreună cu adunarea şi înmulţirea formează o structură de corp comutativ.

O altă metodă de construcţie a corpului numerelor complexe

Fie o mulţime, pe care o notăm , alcătuită din matricele pătratice de ordinul doi, de forma , matrice pe care o vom nota cu . Să efectuăm adunarea şi înmulţirea matricelor:

Iarăşi, las la latitudinea voastră, ca un mic exerciţiu să demonstraţi că este grup comutativ, este un monoid comutativ, şi că înmulţirea este distributivă faţă de adunare. Orice matrice M(a,b), unde a şi b sunt numere reale nenule, este inversabilă, deoarece determinatul matricei M(a,b) este diferit de 0 oricare ar fi a şi b numere reale nenule, iar inversa matricei, sale va fi . Dacă vom efectua înmulţirea între şi inversa sa, vom obţine , care este elementul neutru al înmulţirii, şi pe care îl voi nota cu 1. Asta deoarece functia este bijectiva.

Ia să vedem, acum, în corpul nou format, ce se întâmplă dacă efectuăm operaţia . Iată-l pe .

În concluzie, prin notaţie, matricea reprezintă forma algebrică a unui număr complex.

Pe această nouă construcţie aş putea merge mai departe: Fie matricea , care, prin inducţie, se poate demonstra că are proprietatea . Nu observaţi că aceasta este exact formula lui Moivre? Matricea M(cos x, sin x) este exact forma trigonometrică a unui număr complex . Formula lui Moivre spune că . Pe forumul StiintaAzi puteti gasi un referat excelent, realizat de userul Sigma2, despre numerele complexe sub forma trigonometrica.